2、关于体积计算的刘徽定理一般地说，柱体或多面体的体积计算较比容易解决，而圆锥、圆台之类的体积就难以求得。

刘徽经过苦心思索，终于找到了一条途径，他分别做圆锥的外切正方锥和圆台的外切正方台，结果发现：&ldo;求圆亭（圆台）之积，亦犹方幂中求圆幂，圆面积与其外切正方形的面积之比为π∶4，由此他推得：圆台（锥）的体积与其外切正方台（锥）的体积之比，也是π∶4。

很显然，如果知道了正方台（锥）的体积，即可求得圆台（锥）的体积。

刘徽这个成果，看似简单，实际起着继往开来的重要作用，故有的现代数学家称之为&ldo;刘徽定理&rdo;。

在古代没有微积分的时候，这条定理起着微积分的作用，在现代数学中仍有其价值。

刘宋时祖冲之、祖暅父子继承刘徽定理而得出更为进步的祖氏原理。

在西方，直到1635年意大利数学家卡瓦列利才有了与祖氏父子类似的思想，比祖氏父子已晚了一千一百多年，比刘徽更迟了一千三百多年。

3、十进小数的应用在数学计算或实际应用中总不免出现奇零小数，在刘徽以前，一般是用分数或命名制来表示，如&ldo;一升又五分升之三&rdo;，即升。

或七分八厘九毫五忽&rdo;等，在位数较少时，尚可凑合，当小数位数太多时，便很不方便，因之刘徽建立了十进分数制。

他以忽为最小单位，不足忽的数，统称之为微数，开平方不尽时，根是无限小数，这又是无限现象。

他说：&ldo;微数无名者以为分子，其一退以十为分母，再退以百为母，退之弥下，其分弥细，则朱幂（已经开出去的正方形面积）虽有所弃之数（未能开出的部分），不定言之也&rdo;。

用现代方法写其方根近似值是忽。

刘徽在对奇零小数的处理上所创立的十进小数记法，在世界数学史上也是一项重要的成就，外国的同样方法，到十四世纪才出现，比刘徽晚了千余年。

4、改进了线性方程组的解法《九章算术》中有一章专讲线性方程组问题。

用一种&ldo;直除法&rdo;求解，即解方程组时把多个未知数逐步减少到一个未知数，然后反过来求出所有未知数的值。

&ldo;直除法&rdo;的消元（未知数）要通过对应项系数累减的办法来完成，比较麻烦。

刘徽对&ldo;直除法&rdo;加以改进，在解二元一次方程组时，用了&ldo;互乘对减&rdo;的方法，一次消去一项，如同后来的加减消元法。

刘徽虽然只用过一次&ldo;互乘对减法&rdo;，但他知此法带有普遍性，可以推广到任何元数的线性方程组。

刘徽还使用配分比例法解线性方程组，也是有创造性的成果。

在欧洲，直到十六世纪法国数学家布丢解线性方程的方法才与《九章算术》的&ldo;直除法&rdo;相似，然而已比《九章算术》晚了一千七百多年，而且没有刘徽改进的解法好。

5、总结和发展了重差术我国古代，将用&ldo;表&rdo;（标杆）或&ldo;矩&rdo;（刻划以留标记）进行两次测望的测量方法称做&ldo;重差术&rdo;。

《九章算术注》中第九章《句股》，主要讲测量高、深、广、远问题，说明当时测量数学和测绘地图已有相当水平。

刘徽《重差》一卷所以被改称《海岛算经》就是因为其第一题是讲测量海岛的。

&ldo;重差&rdo;之名，古已有之，刘徽对之进行了深入而具体的研究，他解释重差的含义说：&ldo;凡望极高，测绝深，而兼知其远者，必用重差，勾股则必以重差为率，故曰：重差也&rdo;。

刘徽的《海岛算经》共有九个应用题，都有解法和答案。

其解法都可以变成平面三角公式，起着与三角同等的作用，可说是我国古代特有的三角法。

关于刘徽的身世，因史书失载，难以确知。

《宋史》卷105《礼八》记述宋徽宗大观三年（1109年）追封古天算家七十余人，其中有&ldo;魏刘徽淄乡男&rdo;。

男是宋徽宗给刘徽追加的封爵，古时大臣死后常以其旧乡追封之。

曹魏时，带&ldo;淄&rdo;的地名只有临淄县（属青州齐国），北宋时，除临淄外，还有淄川县（今山东寿光县），故知刘徽是今山东淄博市至寿光县一带人。

因魏晋史书不载刘徽生平事迹，故有的数学史家谓刘徽系布衣数学家。

然刘徽在《九章算术注》中自言他曾见&ldo;晋武库中有汉时王莽所作铜斛&rdo;，刘徽若是一介平民，何以能熟知京师武库重地的古代珍物？又何以有测望海岛并常为修筑巨大工程而深究数学的必要？从刘注中，可以看出刘徽的学识文笔均属上乘，如此人才，在当时仕宦，实极容易。

陈寿《三国志》对政经大事及重要人物，每多遗漏，刘徽不见于史，自不足为奇。

查《隋书》卷34《经籍志三》有《鲁史欹器图》一卷，并注明为仪同刘徽撰，隋志于后再载刘徽撰的《九章算术十卷》和《九章重差图一卷》时，仅注明&ldo;刘徽撰&rdo;，而不再冠以官名，这也是刘徽曾做过官的又一证据。

清人姚振宗谓曹魏无&ldo;仪同&rdo;之官，因而他以为此仪同非刘徽。

然据《三国志》卷43《黄权传》云&ldo;景初三年（蜀延熙二年，239年）（黄）权迁车骑将军、仪同三司&rdo;，怎能说魏无仪同之官呢？由于以上理由，我以为刘徽并非布衣学者，而曾仕于魏、晋之际。

四、张仲景和他的《伤寒论》、《金匮要略》

汉末三国，祖国医学又有了重要发展，张仲景的医学成就特别引人注目。